Análise Matemática I (MAT0905)

Programa e métodos de avaliação da disciplina.

Cap1. Sucessões

Definição. Subsucessão.

Sucessões monótonas.

Sucessões limitadas.

Princípio de indução matemática.

Elementos da teoria dos conjuntos e das funções.

Conjuntos numeráveis; o método de indução matemática; início do estudo das sucessões.

Sucessões convergentes. Propriedades.

Operações algébricas com sucessões.

Propriedades algébricas dos limites.

Sucessão de Cauchy.

A recta acabada.

Inifinitamente grandes.

Operações com limites na recta acabada.

Indeterminações.

Sucessões de Cauchy. Números reais. Teoremas de existência de limites, ínfimos e supremos.

Sucessão exponencial.

Sucessão do tipo potência-exponencial.

Resolução de exercícios.

Exemplos de sucessões convergentes; dedução de limites pela definição e pelo teorema das sucessões enquadradas. Final da ficha 1 - conjuntos numeráveis.

Desigualdade da média geométrica e aritmética. Mais sobre sucessões. A exponencial.

Cap.2 Séries de números reais

Definição e generalidades.

Série geométrica.

Série de Mengoli.

Condição necessária de convergência.

Propriedades algébricas de séries.

Séries de termos não negativos.

Séries alternadas.

Corolário do Critério de comparação.

Propriedades da exponencial; definição como série de potências. Exercícios da ficha 2 e outros.

Critérios de convergência para séries de termos não negativos.

Aula adiada por motivos académicos do professor.

Mais sobre sucessões exponenciais. Exercícios da ficha 2 e ficha 3.

Resto de uma série.

Cap.3 Fuções reais de variável real.

Limite de uma função.

Limites na recta acabada.

Séries. Critério de convergência geral de CAuchy. Séries de Mengoli. Exemplos.

Exercícios de preparação para o teste.

Cap.3 Funções reais de variável real

Limites na recta acabada.

Limites laterais.

Funções contínuas.

Continuidade lateral Descontinuidades.

Séries - final. Convergência absoluta e estrita. Séries alternadas. Critérios de convergência de Leibniz, comparação, razão e Cauchy.

Teoremas fundamentais sobre continuidade.

Assímptotas.

Função inversa.

Função exponencial.

Função logarítmica.

Primitivas imediatas e quase imediatas.

Primitivas de funções exponenciais e trigonométricas

Séries de Dirichlet. Critério de convergêcia da raíz.

Exercícios ficha 4.

A aula não se realizou em virtude do docente se ter deslocado à Universidade do Algarve em representação oficial do CIMA-UE.

Exercícios ficha 4: 4 e 5.

Funções. Limites. Propriedades.

Funções trigonométricas inversas.

Cap.4 Cálculo Diferencial em IR.

Derivada de uma função num ponto.

Interpretação geométrica da derivada.

derivadas laterais.

derivadas infinitas.

Derivabilidade e continuidade.

Funções; limites; limites laterais. Trigonometria e limites notáveis.

Continuidade. Algumas proposições.

Função derivada. Regrase de derivação.

Derivada da função composta e da função inversa.

Derivada das funções trigonométricas.

Derivada das funções exponencial e logaritmica. 

Exercícios ficha 4 final: 7,8,9,10.

Teoremas fundamentais do cálculo diferencial.

Derivadas de ordem superior.

Aplicações da fórmula de Taylor à determinação de extremos, concavidade e inflexões.

Propriedades das funções contínuas. Teorema do valor intermédio. Notas sobre sucessões de funções e continuidade uniforme. Nota sobre séries de potências. Diferenciabilidade.

Séries de funções.

Séries de potências.

Séries de Taylor para funções reais de variável real.

Derivadas, regras de derivação. Derivada da função composta e da função inversa. Exemplos. Derivação das funções elementares. Trigonometria, regras dos senos e cosenos das somas de ângulos. Exercícios.

5. Cálculo Integral em IR.

Primitivas.

Primitivas imediatas e quase-imediatas.

Primitiva de potências, exponenciais e trigonométricas.

Diferenciabilidade. Extremos relativos. Teorema de Rolle e corolários. Exercícios ficha 5: 4iv e 5i.

Métodos de primitivação.

Primitivação por decomposição e por partes.

Primitivação por substituição.

Os alunos faltaram todos excepto um - aula adiada.

Primitivação de fracções racionais.

Teoremas do valor médio de Cauchy e do valor médio de Lagrange. Aplicações. Regra de Cauchy. Exemplos.

Fórmula de Taylor; Resto de Lagrange. Unicidade do desenvolvimento de Taylor. Exemplos.

Primitivação de fracções racionais compostas com substituição.

Integral de Riemann.

Somas integrais de uma função.

Definição de integral de Riemann.

Interpretação geométrica do conceito de integral.

Propriedades dos integrais.

Método de primitivação de funções racionais por
decomposição.

Propriedades dos integrais (continuação).

Teorema da média do cálculo integral.

Desigualdade de Schwarz.

Integral indefinido.

Fórmula de Barrow.

Convergência das séries de Taylor. Fórmula de majoração dos restos de Taylor-Lagrange. Séries de potências. Raio de convergência. Exemplos. Exercícios.

Métodos de integração:

Integração por decomposição, por partes e por substituição.

Extensão da noção de integral: Intergais impróprios de 1ª, 2ª e 3ª espécies.

Assíntotas horizontais e oblíquas.

Primitivação; regras.

Introdução ao integral de Riemann. Integrais superior e inferior de Darboux.

Funções integráveis. Propriedades do integral.

Critérios de convergência para integrais impróprios.

Aplicação dos integrais:

Áreas planas.

Aplicações dos integrais:

Comprimento de curvas planas.

Áreas laterais e volumes de sólidos de revolução.

Resolução de exercícios.

Esclarecimento de dúvidas.

Resolução de exercícios.

Ficha 1.

Ficha 1.

Ficha 1.

Ficha 1, final.

Ficha 1, final.

Ficha 1, final.

Ficha 2, ex. 1,2,4i-4iv.

Ficha 2, ex. 1,2,4i-4iv.

Ficha 2, ex. 1,2,4i-4iv.

Exercícios ficha 2: 4, 5, 6, 9i e 9ii.

Exercícios ficha 2: 4, 5, 6, 9i e 9ii.

Exercícios ficha 2: 4, 5, 6, 9i e 9ii.

Ficha 3 e correcção do teste.

Ficha 3 e correcção do teste.

Ficha 3 e correcção do teste.

Exercícios ficha 4. Final do 1), 2), e início do 3).

Exercícios ficha 4. Final do 1), 2, e início do 3).

Exercícios ficha 4. Final do 1), 2, e início do 3).

Exercícios ficha 4: 3 alguns e 6.

Exercícios ficha 4: 3 pares e 6.

Exercícios ficha 4: 3 ímpares e 6.

Ficha 5 de exercícios. alíneas 1, 2 pares até vi).

Ficha 5 de exercícios. alíneas 1, 2 ímpares até v).

Ficha 5 de exercícios. alíneas 1, 2 alguns até v).

Uma aula suplementar de exercícios à turma C.

Ficha 6, ex. 1 a 5.

Ficha 6, ex. 1 a 5.

Ficha 6, ex. 1 a 5.

Ficha 6 de exercícios. ex. 6 - 8.

Ficha 6 de exercícios. ex. 6 - 8.

Ficha 6 de exercícios. ex. 6 -9 iv)

Ficha 6 - ex. 9 e 10. Ficha 7 ex. 1 e 2i).

Ficha 6 - ex. 9 e 10. Ficha 7 ex. 1 e 2i).

Ficha 6 - ex. 9 e 10. Ficha 7 ex. 1 e 2i).

Cap.1 Sucessões

Subsucessões.

Sucessões monótonas.

Sucessões limitadas.

Noção de vizinhança.

Sucessões convergentes.

Operações com limites na recta acabada.

Indeterminações.

Sucessão exponencial.

Sucessão exponencial generalizada.

Indução matemática.

Cap.2 Séries Numéricas.

Definição e generalidades.

Série geométrica.

Série de Mengoli.

Condição necessária de convergência.

Critérios de convergência para séries de termos não negativos.

Critério de Leibniz.

Cap.3 Funções reais de variável real.

Limites na recta acabada.

Continuidade.

Assímptotas.

Função inversa.

A aula não se realizou em virtude do docente se ter deslocado à Universidade do Algarve em representação oficial do CIMA-UE.

Funções exponencial e logaritmica.

Funções trigonométricas inversas.

Definição de derivada de uma função num ponto.

Regras de derivação.

Primitiva por partes e por substituição.

Primitivação de fracções racionais.

Primitivação de funções racuionais.

Propriedades e cálculo de integrais.

Integração por partes

Aplicação dos teoremas de Lagrange, Rolle e Cauchy.

Estudo da monotonia, extremos, concavidade e inflexões.

Integração por substituição.

Integrais indefinidos.

Integrais impróprios.

Cálculo de áreas planas.